1. 算法原理
1.1 什么是堆?
堆(二叉堆)
可以视为一棵完全的二叉树
,完全二叉树的一个“优秀”的性质是,除了最底层之外,每一层都是满的,这使得堆可以利用数组来表示(普通的一般的二叉树通常用链表作为基本容器表示),每一个结点对应数组中的一个元素。
如下图,是一个堆和数组的相互关系
- 对于给定的某个结点的下标 i,可以很容易的计算出这个结点的父结点、孩子结点的下标:
- Parent(i) = floor(i/2),i 的父节点下标
- Left(i) = 2i,i 的左子节点下标
- Right(i) = 2i + 1,i 的右子节点下标
- 二叉堆一般分为两种:最大堆和最小堆。
- 最大堆:
- 最大堆中的最大元素值出现在根结点(堆顶)
- 堆中每个父节点的元素值都大于等于其孩子结点(如果存在)
- 最小堆:
- 最小堆中的最小元素值出现在根结点(堆顶)
- 堆中每个父节点的元素值都小于等于其孩子结点(如果存在)
1.2 堆排序原理
堆排序就是把最大堆堆顶的最大数取出,将剩余的堆继续调整为最大堆,再次将堆顶的最大数取出,这个过程持续到剩余数只有一个时结束。在堆中定义以下几种操作:
- 最大堆调整(Max-Heapify):将堆的末端子节点作调整,使得子节点永远小于父节点
- 创建最大堆(Build-Max-Heap):将堆所有数据重新排序,使其成为最大堆
- 堆排序(Heap-Sort):移除位在第一个数据的根节点,并做最大堆调整的递归运算
继续进行下面的讨论前,需要注意的一个问题是:数组都是 Zero-Based
,这就意味着我们的堆数据结构模型要发生改变
相应的,几个计算公式也要作出相应调整:
- Parent(i) = floor((i-1)/2),i 的父节点下标
- Left(i) = 2i + 1,i 的左子节点下标
- Right(i) = 2(i + 1),i 的右子节点下标
1.2.1 最大堆调整(Max-Heapify)
最大堆调整(MAX‐HEAPIFY)的作用是保持最大堆的性质,是创建最大堆的核心子程序,作用过程如图所示:
由于一次调整后,堆仍然违反堆性质,所以需要递归的测试,使得整个堆都满足堆性质
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1.2.2 创建最大堆(Build-Max-Heap)
创建最大堆(Build-Max-Heap)的作用是将一个数组改造成一个最大堆,接受数组和堆大小两个参数,Build-Max-Heap 将自下而上
的调用 Max-Heapify
来改造数组,建立最大堆。因为 Max-Heapify 能够保证下标 i 的结点之后结点都满足最大堆的性质,所以自下而上的调用 Max-Heapify 能够在改造过程中保持这一性质。如果最大堆的数量元素是 n,那么 Build-Max-Heap 从 Parent(n) 开始,往上依次调用 Max-Heapify。流程如下:
1.2.3 堆排序(Heap-Sort)
堆排序(Heap-Sort)是堆排序的接口算法,Heap-Sort
先调用Build-Max-Heap
将数组改造为最大堆,然后将堆顶和堆底元素交换,之后将底部上升,最后重新调用Max-Heapify
保持最大堆性质。由于堆顶元素必然是堆中最大的元素,所以一次操作之后,堆中存在的最大元素被分离出堆,重复n-1次之后,数组排列完毕。整个流程如下:
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2. 算法实现
合并以上三个步骤后最终的代码:
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